Appunti di logica modale

Le logiche modali sono estensioni della logica classica per il trattamento di enunciati che esprimono una modalità di essere diversa dal semplice valore vero o falso come possibile, necessario, permesso, obbligatorio.
La semantica della logica classica ha a che fare con il mondo reale così com’è, hic et nunc. La semantica delle logiche modali ha invece a che fare con i mondi possibili, che non sono ma che potrebbero essere. Un mondo è l’insieme delle proposizioni vere in quel mondo. Un mondo possibile è un mondo che differisce dall’attuale per il valore di verità di qualcuna di queste proposizioni. Qual’è dunque il significato di un enunciato che contempla frasi del tipo “è possibile che A” o “è necessario che B”. Che relazione ci deve essere tra un mondo dove A è vero e uno dove è solo possibile ?
E’ possibile accedere ad un mondo, poniamo w2, diverso da quello attuale w1 se esiste una relazione binaria di accessibilità o visibilità da w1 a w2. La relazione può essere asimmetrica, riflessiva, simmetrica, transitiva. Possiamo definire un modello M come un insieme W di mondi possibili, una relazione R di accessibilità tra mondi e una funzione di interpretazione I che associa un valore nell’insieme {Vero, Falso} a ciascuna proposizione in ogni mondo di W. Se qualcosa è vero nel nostro mondo allora è possibile in uno dei mondi possibili che sono raggiungibili a partire dal nostro, se è falso nulla può essere detto ne che sia possibile ne che sia impossibile. Se qualcosa è falso nel nostro mondo allora non è necessariamente vero, se è vero non lo è comunque necessariamente in tutti i mondi possibili.

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